“平均数”单元整体教学设计上

平均数是统计学中最基础、最重要的概念之一，隶属于“数据的收集、整理与表达”主题。平均数在现行小学数学教材中并不是独立的单元，一般与条形统计图等内容混合编排，依照《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写的人教版新教材中，“平均数”是作为一个单独单元编排的。本文中的“平均数”单元指的是由“认识平均数”及“体会平均数的简单应用”等课时组成的小单元。一、确定指向核心素养的单元学习目标1.基于主题提炼核心概念及单元具体观念“数据的收集、整理与表达”主题的核心概念是数据意识，数据意识在本单元中的具体表现是“知道在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，收集数据，感悟数据蕴含的信息；知道同样的事情每次收集到的数据可能不同，而只要有足够的数据就可能从中发现规律。”平均数是表示一组数据“集中趋势”的统计量，代表了这组数据的整体水平。因此，平均数教学要引导学生在熟悉的情境中理解平均数所具有的“代表性”，这是数据意识的本质体现。基于课程标准及平均数的本质，可以将核心概念具体化为如下单元具体观念：观念1：数据蕴含着信息。用平均数可以代表一组数据的整体水平，平均数并不是客观存在的，是通过加工原始数据“匀一匀”得到的。观念2：平均数具有“敏感性”（平均数对一组数据中的每个数值的变化都较为敏感，尤其容易受到极端数据的影响）和“有界性”（平均数的取值范围在一组数据的最大值与最小值之间），根据特性可以解释或解决生活中有关平均数的简单问题。观念3：知道同样的事情每次收集到的数据可能不同，平均数具有随机性，运用随机数据求得的平均数所得到的结论更加公平合理。2.多版本教材对比分析现行小学数学教材一般将“平均数”编排在四年级，多种版本教材都结合具体情境让学生体会平均数是一组数据平均水平的代表，介绍了“移多补少”和“求和均分”等计算平均数的方法。苏教版教材还在“你知道吗”中介绍了“在演唱比赛中，计算选手的得分时，往往要去掉一个最高分和一个最低分，可以剔除一些极端数据，更能代表选手的实际水平”的知识，拓展学生对平均数的认识。3.参考权威考试命题下面是六年级毕业考试中的一道题目：此题考查的是对平均数的本质及特性——“有界性”的理解，即平均数介于一组数据的最大值与最小值之间。此题考查学生对平均数的“敏感性”的理解，平均数很“敏感”，易受极端数据的影响。因此，在实际应用时要先去掉极端数据之后再求平均数，此时的平均数会更具“代表性”，做出的推断也更合理。可见，素养立意下的考试命题更加注重学生对数学知识本质的理解及思维过程，关注学生对数学概念、性质等的理解与应用。4.确定单元学习目标综合以上分析，依据课程标准和单元具体观念，确定单元学习目标如下：（1）在熟悉的情境中体验、理解平均数所具有的“代表性”，感悟数据蕴含的信息，能够解释用平均数代表一组数据整体水平的合理性，能运用“移多补少”、“先求和再均分”等方法计算平均数。（2）知道平均数不是实际存在的数值，是通过“匀一匀”加工出来的；知道平均数是个“不大不小”的数，取值范围在一组数据的最大值和最小值之间；知道平均数对一组数据中的每个数值的变化都较为敏感，尤其容易受到极端数据的影响。（3）初步感受平均数的推断功能，能运用平均数的特性对真实情境中“去掉最低分和最高分再取平均数”的数据处理方法进行解释，知道在实际应用时要先去掉极端数据之后再求平均数，此时的平均数会更具“代表性”，做出的推断也更合理。二、单元内容重组与课时规划1.厘清单元内容的学习进阶  基于上述分析，确定“平均数”单元内容的学习进阶如下：层级1：会用“先求和再均分”或“移多补少”的方法计算一组数据的平均数。层级2：知道平均数能够代表一组数据的整体水平（平均水平），体验平均数的“敏感性”、“有界性”等特性。层级3：能够解释并体会平均数作为“代表”的合理性，感受平均数的推断功能，知道去掉极端数据后所得到的平均数更有代表性，推断更合理，知道平均数具有随机性。  其中，层级1属于对平均数理解的“算法水平”，学生有相应的知识基础，较容易达成；层级2属于“概念水平”，层级3属于“统计水平”，较难达成。因此，可以将本单元分为两个课时，第一课时着眼于“层级1和层级2”的达成，第二课时则聚焦于“层级3”的达成。2.学情调研  学生早在二年级时就会用除法解决”平均分“的问题。虽然“平均分”和平均数的意义不同，但计算方法一样，因此学生掌握平均数的算法相对容易。调研发现，95%以上的学生会用已有知识“总数÷份数=平均数”计算平均数；但只有不到10%的学生能比较含糊地说出平均数的含义；  对于平均数是小数的情况，有近95%的学生表示不能理解，认为是错误的；另外，学生缺乏用一个数代表一组数的经验，很难想到用平均数作为一组数据的代表数。3.设计指向目标的核心任务序列。  基于上述分析，笔者对平均数的单元内容做了重构，单元优化后的教学内容、核心目标与核心任务设计如下表。