摘要：数学核心素养是通过数学活动逐步形成与发展的正确价值观、思维品质与关键能力。核心素养如何在课堂教学中落地是数学课堂教学改革的重点。从对一个单元整体教学的研究发展为对几个单元知识的整体性教学，是一种积极的探索与实践。“加减乘除是一家”一课，关注了教学内容的整体组织，关注了核心问题的整体引领，关注了深度学习的整体建构，关注了教学板书的整体设计，为研究“有组织的整体知识”教学提供了典型样本。
关键词：核心素养； 整体知识 ；加减乘除
自2016年9月正式发布《中国学生发展核心素养》总体框架以来，有关核心素养的意义和实施路径成为了教育领域的关注焦点。2022年发布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》将“核心素养”作为数学课程目标，明确指出：“义务教育数学课程应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养。核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的，不同学段发展水平不同，是制定课程目标的基本依据。”“数学核心素养具有整体性、一致性和阶段性。”同时在课程实施的“教学建议”中进一步提出了“通过合适的主题整合教学内容，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养”。
在当下的数学课程改革与实践中，对一个单元整体知识教学的研究比较多，而对几个单元甚至不同年级的相关单元知识的整体教学尚缺乏深入研究和典型课例。事实上，如果学生习得的数学知识和技能总是局限于某一个单元或某一个年级，显然不利于学生从整体上认识数学和理解数学，也会阻碍学生数学核心素养的形成，因此“总得有人去擦亮星星”。笔者曾在五年级进行了“小数四则运算复习”多单元整体知识教学尝试。现在又欣喜地看到，安徽省特级教师夏永立大胆尝试了一节体现整体性知识教学的创新研究课“加减乘除是一家”（二年级），提交了一份极具借鉴意义的精彩课例。下面笔者就观课后的几点感想与大家分享。
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一、关注教学内容的整体组织
教学内容是落实课程教学目标、发展学生数学核心素养的载体。一方面，教师应重视对教学内容的整体分析，了解数学知识的产生与来源、数学知识的结构与关联、数学知识的价值与意义。另一方面，教师应在教学中引导学生在数学概念、原理、法则之间构建有效的认知，体会不同教学内容之间的一致性和可迁移性，从而学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题。
加、减、乘、除四则运算一直是第一学段数学教学的重点内容，现行教材一般在一年级上册就开始教学加法和减法的意义及运算，然后在二年级上册正式教学乘法和除法的意义及运算。关于四则运算的数值范围，从一年级开始在自然数范围内螺旋式上升地编排四则运算内容，从三年级开始逐步扩展到分数、小数的四则运算。当学生在二年级学习结束时，如何把四则运算的意义进行整体性关注和一致性教学？夏永立老师从计数与运算的关系入手，整体设计和组织了本节课的教学内容。
一节课只有40分钟，要把分散在两个年级里面多个单元的数学知识进行整体性教学，难度很大，这就需要教师对教学内容进行整体组织。夏老师以一根数线（如图1，小学阶段尚未正式引入“数轴”这一概念）贯穿整节课，把加、减、乘、除法的基本含义和内在联系进行了整体性教学。
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夏老师首先让学生在数线上移磁扣，体验加法和减法运算之间的互逆关系。学生通过形象具体的教具移动，利用简约和直观的素材，明确了加减法的含义: 加法就是继续往后数的计数策略，减法就是倒着数的计数策略。
在初步沟通了加、减法之间的内在联系后，夏老师进一步让学生在数线上操作和理解乘、除法（如图2和图3）：
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在学生分别建立了加法和减法、乘法和除法之间的关系后，夏老师再进一步沟通乘法和加法、除法和减法之间的内在联系，即“乘法是特殊的加法”“除法是特殊的减法”，由此学生逐步体验到“加减乘除是一家”。课末由正数拓展到负数（图4），在激发学生的探究欲望的同时也为学生将来的学习埋下伏笔。
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二、关注核心问题的整体引领
数学核心素养的落实离不开核心问题的引领，《义务教育数学课程标准（2022版）》中明确地将“发现问题、提出问题”作为与“分析问题、解决问题”并列的重要目标。一般的数学课堂，学生发现和提出问题的机会并不多，而教师则经常提出众多驳杂的“问题”。因此如何通过核心问题引领教学成为有效学习的前提和保证。
众所周知，问题是数学的心脏。在该课教学中，夏老师既没有由老师过多地讲述与灌输，也没有一味地让学生操作与探索，而是一直让学生思考三个核心问题：我是谁？家在哪？还去哪？在这些富有哲思的核心问题的引领下，学生厘清了数学知识的内在联系,实现认知图式的自我建构。
有了核心问题的整体引领，还需要通过具体问题来促进学生不断探索与思考四则运算的本质。
⑴在教学加法和减法的含义和相互关系时，分别提问：在数线上，0的“家”在哪？0+1的新“家”又在哪里？它（圆形磁扣）怎样回到原来的“家”？比较两次移动的过程，有什么相同和不同的地方？
⑵在沟通加法和乘法的关系时，提问：刚才移动磁扣的时候，都是一格一格地移，还可以怎么移？几格几格地移，除了列加法算式还可以用什么运算？有了加法运算为什么还要学习乘法？
⑶在沟通除法和减法的关系时，提问：磁扣从8开始，向左2格2格地移，回到原来的家（0），你能想到什么算式？除法的含义是什么？你能用箭头表示除法和减法的关系吗？
⑷在教学乘法和除法的含义和相互关系时，提问：进行乘法和除法计算时，在数线上移磁扣有什么相同和不同的地方？乘法和除法有什么联系？
⑸在学生理解四种运算的含义以及运算之间的联系后，通过核心问题引发学生深度思考：加、减、乘、除法四种运算之间有着怎样的关系？
在上述核心问题的引领下，学生把曾经零散习得的四则运算知识进行了系统整理，不仅对加、减、乘、除法各自的含义有了更加清晰的认识，还认识到加法运算是所有运算的源头和基础，四则运算之间具有整体性，运算的本质是计数，计数与计算之间具有内在一致性。可见，有了核心问题的引领，学生的学习就有了目标和方向，知识的理解和掌握就有了结构化的特征。
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三、关注深度学习的整体建构
从广义知识分类的角度来看，本课所学习的知识属于“有组织的整体知识”（吴红耘、皮连生主编《学与教的心理学》一书，华东师范大学出版社2020年版，第112页），即是指“围绕某个主题或者按照一定的关系组织起来的一整块的知识”。该课是对加、减、乘、除法四则运算的系统整理与提升，不是单一的命题或事实，而是属于典型的“一整块”知识。这类知识学习的重点目标是理解。用奥苏伯尔的同化理论解释，理解的本质是原有的适当观念同化新的知识，影响这类知识学习的唯一最重要条件是原有知识及其组织的特征。
从心理学角度看，促进有组织的整体知识学习的重要外部条件是提高学习材料的“可懂度”，即通过有效的策略加工，把抽象的数学知识形象化，以顺应儿童的年龄特征和认知规律，也就是把“学术形态的数学”转化为“教育形态的数学”，把“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”。夏老师精心设计了促进学生深度学习的教学策略，主要体现在以下三种：
一是采用直观游戏活动。游戏是孩子的天性，兴趣是最好的老师。在全课教学中，夏老师充分发挥了游戏化、活动化教学的优势，只用了一个看上去不起眼的磁扣，引导学生在数线上不断操作，进而在有趣的数学活动中理解四则运算的意义以及它们之间的内在联系。夏老师还注意变换游戏活动的形式，除了有教师的直观示范，也有个别学生的操作演示，还有全体学生的独立操作与合作交流，以及游戏活动前后的猜测、验证和对比、评价。这样的活动教学，相当于给学生一把智慧的钥匙，打开了数学学习之门，真正享受数学思考的乐趣。
二是采用数形结合方式。数学家华罗庚在六十年前就指出“数无形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休”。要让二年级学生深入理解运算的含义，除了借助直观的操作活动，还离不开数形结合的方式。夏老师通过直观操作，帮助学生建立起磁扣移动的格子数、方向与计数、运算之间的内在联系，促进学生由动作图式过渡到具体运算图式，进而发展为抽象运算。以此利用简约的教学素材帮助孩子实现深度的数学理解，从而促进孩子数学思维的发展。
三是采用符号标志技术。所谓符号标志技术，是指在学习材料中加入未增加实际内容的标志或词语，以强调材料的概念结构和组织的技术。本课学习的知识是典型的“有组织的整体知识”，因此特别需要通过这种凸显学习材料结构和关系的技术来促进学生深度理解。夏老师全课除了采用动态的磁扣移动，帮助学生在头脑中形成动态表象，还通过半抽象半直观的数线图帮助学生在计数中理解计算，又利用板书的不同颜色、线条和符号标记等，图文并茂地突出内容要点，使学生能够选择适当的信息，清楚四则运算之间的结构性和整体性联系，进而把零散的运算概念建构成清晰的认知结构，体会不同运算之间遵循的共同规律，感悟不同运算的内在一致性。
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四、关注教学板书的整体设计
我国本轮基础教育课程改革已经进行了20年有余，无论是教育理念的更新还是教学方式的创新，始终方兴未艾。然而改革过程中我们也发现，很多教师重视了教学方式的变革，重视了教学手段的更新，重视了教学内容的重组，重视了学习过程的体验，重视了学习结果的评价，但是对板书设计的重视远远不够，有时甚至出现整堂课不板书一个字，或者只是电子虚拟的课件式板书一闪而过，使得学生一堂课学下来并不能把握知识重点，更形成不了认知体系，制约了学生数学思维的发展和数学素养的形成。因此，我们应该充分认识到课堂板书的重要价值。
笔者欣喜地看到夏老师在这节课中十分注重板书的设计与教学（如图5）。
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上述的板书设计具有结构性和整体性：既有直观的数线以及可以移动的磁扣，也有具体的运算算式及得数；既有四则运算的典型举例，也有四则运算之间的内在关联；既有抽象的数字和符号，也有形象的线条与箭头；既有学习的知识内容，也有学习的问题提出。这样的板书，在有痕的提示中引领学生寻找知识之间的连接点，将碎片化的知识连成线、结成网、筑成块；在无痕的提升中促进学生建立起结构化思维，形成了完整的认知结构。
笔者认为，板书是一节课的整体思路与框架，是课堂教学的运行线索与结构，也是教师教学智慧的宝贵结晶和创造，值得教师进行更多的研究与实践。在此，让我们重温《义务教育数学课程标准（2011版）》“教学建议”中对板书的定位：“在应用现代信息技术的同时，教师还应注重课堂教学的板书设计。必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络。”
